Time Shift : Properties of z-Transform¶
Bilateral z-Transform의 경우¶
\(k\)만큼의 delay가 된 signal \(x[n-k]\)에 대한 z-Transform은 다음과 같음.
증명은 다음과 같음.
time domain에서의 dealy는 frequency domain에서의 linear phase shift에 해당.
- time delay와 phase shift의 관계를 나타냄.
- \(z=re^{j\omega}\) 이므로 phase response는 \(-k\omega\)로 \(\omega\)에 대해 선형임.
\(k\)만큼의 지연을 시키는 Delay device 의 transfer function은 \(z^{-k}\)임.
- time signal을 \(k\) 만큼 delay 시키는 동작은 z-Transform에서 \(z^{-k}\)를 곱하는 것임.
- 1만큼의 지연을 시키는 Delay device 표시가 \(z^{-1}\) 인 이유임.
Bilateral의 경우, delay (\(k>0\))와 advance (\(k<0\)) 모두 위의 식을 만족하지만, 우리가 일반적으로 쓰는 z-Transform은 unilateral이다. (causal system을 주로 사용하는 등의 이유로 인해..)
문제는 unilateral에서는
delay와advance에 대한 z-Transform이 같지 않다.
Delay for Unilateral z-Transform¶
우선 \(k>0\)인 delay가 non-causal signal에서 발생할 경우, 기존에 무시되었던 negative region에 있던 값들을 고려해야 한다.
아래 그림은 \(k=2\)인 delay가 non-causal signal에서 발생한 경우를 보여준다. 붉은 색의 값들은 기존의 unilateral에서는 고려되지 않았으나, delay 이후에는 고려가 되어야 한다.
위 그림의 아래에 이를 고려한 unilateral z-Transform이 나타나 있다. 빨간 색의 박스로 표기된 부분이 차이점이며, 이는 difference equation으로 주어지는 discrete LTI system 분석에서 initial condition 처리와 관련된다.
- \(u[n]\)은 unit-step function으로 unilaterl z-transform에서 0이상인 부분만을 고려함을 나타냄.
Advance for Unilateral z-Transform¶
\(k<0\)인 advance가 signal에서 발생할 경우, advance로 인해 negative region으로 이동한 값들을 더이상 고려해선 안된다.
다음 그림은 이를 간략히 보여준다.
Unilateral z-Transform에서는 \(x[n+k]\) 가 아닌 \(x[n+k]u[n]\) 에 대한 z-Transform이 이루어지므로, negative영역이 되어 없어지는 부분을 빼주는 처리가 필요함
이를 수식으로 나타내면 다음과 같음.