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Momentum

momentum은 운동량이라는 뜻으로 기존의 gradient decent에서 이전의 gradient 정보를 이용하여 보다 빠르게 training이 converge하도록 도와주는 방법임.

Gradient Decent의 역사가 워낙 오래된 터라, momentum optimizer도 1960년대부터 사용이 된 정말 오래된 알고리즘이다. 그래도 정말 효과적이며 아직까지도 많이 사용된다.

model의 parameter vector \(\boldsymbol{\theta}\)를 업데이트 하는 방향으로 현재의 gradient \(-\nabla_{\boldsymbol{\theta}}J(\theta)\)만을 사용하는 regular gradient 와 달리 이전의 업데이트 방향의 gradient vector와의 vector sum 을 통해 parameters의 업데이트 방향을 결정함.

inertia (관성)의 개념을 도입 하여 parameters를 업데이트할 vector의 방향이 결정된다. (여기서 계속 방향이라고 애기하는 이유는 parameters를 vector라고 볼 경우, 해당 vector의 각 elements가 어떻게 변경될지를 나타내는 것도 일종의 vector로 표현되며, vector이므로 방향과 크기를 가짐. 크기의 조절은 learning ratio로 이루어지며 방향은 gradient로 결정됨).

parameter vector \(\boldsymbol{\theta}\)의 업데이트는 다음과 같이 이루어짐.

\[\boldsymbol{\theta}_{t+1}=\boldsymbol{\theta}_{t}+ \textbf{m}_{t+1}\]

여기서 momentum \(\textbf{m}_{t+1}\)은 inertia coef. (or momentum coef.) \(\gamma\)를 통해 inertia의 정도가 결정 (inertia coef가 클수록 관성이 커서 기존의 update 방향이 잘 안 변함. 만약 inertia coef.가 0일 경우 regular gradient와 같음).

\[\begin{aligned} \textbf{m}_{t+1}&=\gamma \textbf{m}_t - \eta\nabla_{\boldsymbol{\theta}}J(\boldsymbol{\theta}_t)\\ \\ \textbf{m}_0 &= \textbf{0}\end{aligned}\]

\(\gamma\)를 inertia의 정도라고도 볼 수 있지만, friction의 정도라고도 볼 수 있음.
0인 경우, 매우 큰 friction을 의미(inertia의 영향이 없음)하고, 1인 경우 friction이 없는 경우(inertia의 영향이 최대값)를 의미한다.
friction이 아예 없는 경우 optimum solution 근처에서 oscillation이 심하기 때문 에 0.9 정도로 약간의 friction을 주는 것이 좋음.

관성계수(inertia coef.) \(\gamma\)은 일반적으로 0.9를 사용.

Momentum의 장점 은 다음과 같음.

  • SGD보다 일반적으로 빠른 수렴속도
    • \(\nabla_{\boldsymbol{\eta}}J(\boldsymbol{\theta}_t)\)가 constant \(C\)라면, learning rate \(\eta\)가 \(\frac{1}{1-\gamma}\eta\)로 수렴하게 됨.
    • 만약 \(\gamma=0.9\)일 경우, regular gradient보다 10배의 learning ratio가 적용되는 셈으로 매우 빠른 학습속도 를 보임.
  • Gradient 가 0인 곳에서도 업데이트가 이루어지므로 local minima에 탈출할 확률이 SGD보다 높음 .

단점 으로는 inertia의 도입으로 인해 최적의 값 에서도 업데이트가 이루어져 지나칠 수 있음 (oscilaation).

tunning을 해야할 hyper-parameter \(\gamma\)가 하나 늘어나기는 하지만, 일반적으로 0.9정도면 거의 대부분 regular gradient decent보다 잘 동작 하기 때문에 단점이라고 보기 어려움.

Momentum의 빠른 학습속도의 이유.

gradient가 constant인 경우, momentum의 변화가 특정값으로 수렴하게 되는데 (마치 air resistance에서의 terminal speed가 수렴하는 것처럼) 이 경우 \(\dfrac{d \textbf{m}}{d t}=0\)이 됨.

이 경우 다음과 같은 식이 성립함.

\[\begin{aligned} \textbf{m}_{t+1}&=\gamma \textbf{m}_t -\eta\nabla_{\boldsymbol{\theta}}J(\boldsymbol{\theta}_t) \\ &= \gamma \textbf{m}_t - \eta C \\ \textbf{m} &= \gamma \textbf{m} - \eta C \\ (1-\gamma)\textbf{m} &= - \eta C\\ \textbf{m} &= \frac{1}{1-\gamma}(-\eta)C\\ \\ \therefore \boldsymbol{\theta}_{t+1} &= \boldsymbol{\theta}_{t}-\frac{1}{1-\gamma}(\eta)C \end{aligned}\]

위 식에 보이듯이 gradient가 \(C\)로 일정한 경우, learning ratio가 \(\eta\)에 \(\frac{1}{1-\gamma}\)가 곱해지며, \(\gamma=0.9\)인 경우, regular gradient보다 10배 큰 learning ratio가 가해진 것과 같아짐.

Keras에서의 구현.

tf.keras.optimizers.SGD optimizer를 생성할 때, momentum parameter를 추가하면 \(\gamma=0.9\)인 momentum optimizer를 생성함. (이를 모델의 fit에 넘겨주면 됨.)

opt = tf.keras.optimizers.SGD(
    learning_rate = 0.001,
    momentum = 0.9
)