Topological Space (위상공간)¶
Topological Space 의 정의¶
Topology \(\mathcal{T}\)가 주어진 Set \(X\)가 바로 Topological Space임.
수학적인 정의로 보면, Set \(X\)에서 Topology \(\mathcal{T}\)가 주어져 있다는 것은 \(\mathcal{T} \subseteq P(X)\)이며, \(\mathcal{T}\) 가 다음을 만족한다.
- \(\emptyset, X \in \mathcal{T}\)
empty set 과 전체 공간 X는 open-set (즉, open-set들을 element로 가지는 \(\mathcal{T}\)의 element) 임. - \(U_\alpha \in \mathcal{T} \text{ for all }\alpha \in I \Rightarrow \cup_{\alpha \in I}U_\alpha \in \mathcal{T}\)
임의의 갯수 의 open-set들의 union은 마찬가지로 open-set임. - \(U_1, U_2 \in \mathcal{T} \Rightarrow U_1 \cap U_2 \in \mathcal{T}\)
유한한 갯수 의 open-set 들의 interception은 마찬가지로 open-set 임.
이 경우의, \(\mathcal{T}\)의 element들을 open-set이라고 부른다.
- 이는 topology \(\mathcal{T}\)는 open-set들로 구성된 set (=open-set을 element로 가지는 set)임을 의미함
- 즉, topology는 어떤 space (~set)에서 open-set이 무엇인지를 규정한다.
open-set이란 정성적으로 애기하면, "neighbors"라는 개념을 추상화 한 것이다. 어떤 data point \(p\in X\)가 있다고 할 때, \(p\)를 포함하는 open-set 을 \(p\)의 neighbors (=open-set) 이라고 할 수 있다.
- topology가 같은 topological space들을 homeomorphic(위상동형) 이라 말함.
- \(\mathbb{R}^3\)를 비롯해서 ambient space(어떤 주변공간)에 embedded(속한, 포함된)한 두 공간이 서로 (고무판을 늘이고 줄이듯이) 연속적으로 변환시킬 수 있다면 이 둘을 isotopic하다고 정의함.
isotopic이란, 한 공간 안에서 homeomorphic을 보존하면서 한 쪽에서 다른 한 쪽으로 변형을 할 수 있는 것을 가르킴. homeomorphic보다 엄격한 조건을 가짐.
정리하자면, topology는 기본적으로 topological space의 성질을 나타내는 것 이므로 ambient space(주변 공간)에 어떻게 embedded되어져있는지와 isotopy만을 보고 "topology가 같은 공간"을 다르다고 착각해서는 안됨.
Topology란? (좀더 일반적인 의미)¶
좀 더 많이 사용되는 방법으로 애기한다면, topology란 어떤 설계나 방법론, 또는 연결 방식 등을 의미한다.
어떤 network를 구성하는데 이를 구성할 수 있는 여러 연결방식들 을 topology라고 할 수 있으며, 또는 어떤 device를 만드는데 여러가지 회로 구현방식이 있을 경우 이들 회로 구현방식을 해당 device에 대한 topology라고 할 수 있다.수학적 정의에서 neighbor라는 것을 실세계에서 어떤 목적을 이룰 수 있는 방법, 설계들이라고 생각하면, 해당 neighbors를 규정하는 topology는 해당 방법들을 지칭하는 것이라고 생각할 수 있는 것임.