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Principal Component Analysis

Dataset에서

  1. variance를 최대로 보존하는 hyperplane을 찾고
  2. 해당 hyperplane에 data points를 projection하여

feature vector의 dimensionality를 줄임.

아래에서도 나오지만, Linear Algebra의 Eigen Decomposition과 Singular Value Decomposition에 대한 이해를 하고 있다면 보다 쉽게 PCA를 이해할 수 있음.

Cons. and Pros.

Cons.

  • PCA는 dataset에 linearity를 가정하고 있기 때문에 non-linear relation의 dataset에서는 좋은 성능을 기대하기 어려움.
    • Swiss roll등에서 PCA는 그리 좋은 성능을 보이지 못함.
  • PCA는 target value (ex. class등)를 고려하지 않기 때문 (unsupervised learning)에 variance가 최대인 axis가 반드시 task를 수행하는데 필요한 data를 가장 잘 나타낸다는 보장이 없음.
  • Principal component에 대한 해석이 쉽지 않음 (domain knowledge가 필요함).
  • PCA를 수행하기 전에 반드시 standardization이 dataset에 이루어져야 함 (PCA는 dataset이 origin을 중심으로 분포한다고 가정하기 때문임).

Pros.

  • Unsupervised Learning : label (or target)에 상관없이 각각의 explanatory variable (feature vector의 한 element)들 간의 correlation을 이용하여 data loss가 가장 적은 dimensionality reduction이 가능함.
  • 가장 넓은 분야에서 기본적으로 사용되고 있는 dimensionality reduction 기법임.

PCA에서 찾아야하는 hyper-plane

  • Dataset의 Variance를 최대로 보존.
  • Data points를 해당 hyper-plane에 projection한 경우, raw data point와의 difference (ex. mean squared distance)가 최소임.
    • 달리 말하면, raw dataset에 가장 가까이 존재하는 hyper-plane을 찾는 것임.

PCA가 목표로하는 hyper-plane을 정의하고 있는 axis들이 바로 principal components임.

가장 variance가 큰 axis를 찾아 1st principal component로 삼고,
해당 axis에 orthogonal한 axis 중에서 variance가 큰 axis를 찾아 2nd principal component로 삼는다.
이를 원하는 수의 principal component를 찾거나, axis가 추가되면서 증가하는 cumulative explained variance가 원하는 수준(예를 들어 95%)에 도달하기까지 반복하는 것이
PCA라고 할 수 있다.

PCA를 linear transform으로 애기한다면,

  • 원래의 dataset \(X\) (num of samples = num of rows, num of columns = num of features)를
  • Principal axis들의 unit vectors 가 순서대로 column을 이루는 matrix \(W\)와 matrix multiplication을 수행 (=linear transform)하여
  • reduced dataset \(X_{\text{reduced}}\)를 얻는 것임.

이는 Principal axis를 basis로 가지는 hyper-plane (or vector-space)에서 raw dataset \(X\)를 projection 하는 것이며, 얻어진 \(X_{\text{reduced}}\)는 principal axes의 coefficients로, principal axes를 basis로 하는 일종의 좌표로 projection의 결과 vector space의 data sample의 좌표임.

PCA 수행 단계

  1. Standardization (사실 zero-centered로만 전처리해도 됨.)
  2. Covariance Matrix 계산
  3. 이를 Eigen Decomposition 수행.
  4. Eigen value가 큰 순으로 sorting한 eigen vectors를 구함.
  5. 구해야하는 principal components의 수 만큼 상위 eigen vectors를 principal axes로 선정.

이를 다르게 표현하면,
raw dataset인 matrix \(X\)를 SVD (singular value decomposition)을 수행 (\(X=U\Sigma V^T\)) 하여 얻은 \(V\) matrix의 column vectors로 principal axes를 구할 수도 있음.

  • \(V\)는 \(X\)의 row space의 orthonormal basis 임.
  • 이를 PCA관점에서 Principal Matrix라고 부르기도 함.

참고자료 : * ipynb 예제 * covariance와 centering에 대한 참고자료

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