Negative Number¶

컴퓨터에서 bit로 음수를 표현하는 방법은 크게 다음의 3가지가 있음.

가장 널리 사용되는 방식은 2's Complement 이며, 앞의 방법들은 이를 이해하기 위한 stepping stone정도로 생각해도 된다.

Sign and Magnitude¶

가장 simple한 방법.

공학에서 magnitude는 크기, 양 등을 나타내며, 보통 0이상의 양수를 value로 가짐.

Sign and Magnitude는 단점으로 +0과 -0의 표현이 각각 존재하게 된다. (같은 수이니 하나로 표현되어야 하는데 2개의 다른 표현형이 존재함.) 또한 logic operation으로 arithmetic operation을 구현하기 쉽지 않음.

positive inteager표현에서 모든 bit에 NOT연산을 취함으로서 대응되는 negative inteager를 구하는 방법.

011 (=+3)의 모든 bit에 NOT을 취하면, 100이 되며 이를 -3으로 삼는 방법이다. MSB가 1이면 negative가 됨.

Sign and Magnitude와 마찬가지로 +0과 -0의 표현이 각각 존재한다.

Complement (보수)란: 기준수 \(A\)를 정했을 때, 임의의 수 \(m\)에 대한 complement \(m^\prime\)은 \(A\)에서 \(m\)을 빼서 \(m’\)이 되는 수를 말함. (이진수의 경우, \(A=1\)이 됨.)

2's complement는 negative integer를 구할 때 우선 1's complment을 구하고 여기에 1을 더해준다.

011 (=+3)을 예로 들면 1's complement인 100에 1을 더한 101이 바로 -3의 표현형이 된다.

zero에 대한 표현형이 하나가 되며, artithmetaic operation을 구하기도 간단하다.

1's complement와 2's complement의 경우, 덧셈만으로 뺄셈의 구현이 가능함.

\[ x-m = x + (A-m) - A = x + m’ - A\]

마지막 항의 \(A\)를 빼주는 동작을 고려하면, Complement \(m’\)를 이용하여 덧셈으로 뺄셈을 구현할 수 있음.

이는, MSB에서 carry out (=End around carry)가 발생할 경우에

다음 예를 통해 확인해 보자.

subtraction

MSB에서의 carry in과 carry out이 같을 경우는 overflow가 아니지만, 이 둘이 다를 경우는 overflow임.

Negative integer를 표현 방법들의 비교를 요약하면 다음과 같음.

음수 변환 수월함
- Sign and Magnitude > 1’s Complement > 2’s Complement
Hardware 측면
- Sign and Magnitude: adder와 subtractor 따로 필요. (구현복잡)
- 1’s Complement, 2’s Complement: adder 만 있으면 충분.
연산 속도
- 2’s Complement > 1’s Complement : (end-around carry처리 필요)
Zero 의 유일한 representation.
- 2’s Complement 는 유일한 표현형 지원.

때문에, 2’s Complement 가 사용됨.